IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
Vse o naši iniciativi, s katero do konca šolskega leta podeljujemo razredom prost dostop do vseh OpenProf vsebin, lahko preberete tu.
 
 



Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V tem poglavju si bomo ogledali kako lahko Odvod uporabljamo za različne namene.


Določanje tangente in normale krivulje



Določanje tangente krivulje



Dana naj bo krivulja . V točki želimo določiti tangento na krivuljo. Ker je tangenta premica, se izračuna lotimo z enačbo za smerni koeficient premice:




Iz danega obrazca izpeljemo enačbo za tangento na funkcijo v točki :



Enačba tangente na krivuljo v točki je enaka:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Določanje normale krivulje



Dana naj bo krivulja . V točki želimo določiti želimo določiti normalo na krivuljo.


Vemo, da je tangenta na krivuljo premica, ki se krivulje dotika v dani točki. Normala na krivuljo pa je premica, ki je pravokotna na tangento, poteka pa skozi isto točko, v kateri se tangenta dotika krivulje. Smerni koeficient normale je obraten in nasproten smernemu koeficientu tangente. Torej:




Izračunajmo enačbo normale na funkcijo v točki :



Enačba normale na krivuljo v točki je enaka:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Uporaba odvoda za izračun kotov



Kot med krivuljo in abscisno osjo



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in abscisa (x os).


Krivulja in tangenta sekata absciso pod enakim kotom:





Zato bomo, ko bomo iskali kot med krivuljo in x osjo, zares iskali kot med tangento na krivuljo in x osjo. Iz teorije vemo, da je tanges naklonskega kota enak smernemu koeficientu tangente:




S pomočjo trditve si poglejmo kako izračunamo naklonski kot:



Tangens naklonskega kota je enak odvodu funkcije v presečišču:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kot med krivuljo in ordinatno osjo



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in ordinata (y os).


Spomnimo: kota sta komplementarna, kadar je njuna vsota 90°. Komplementarnost nam pride zelo prav, saj lahko s pomočjo skice razberemo, da sta kota (kot med krivuljo in x osjo) in (kot med krivuljo in y osjo) komplementarna:


Opazimo komplemetarnost kotov



Komplementarnost pomeni, da velja:




in ker že znamo izračunati kot (glej predhodnje poglavje), znamo zato izračunati tudi kot .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kot med dvema krivuljama



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepata krivulji v njunem presečišču.


Kot med dvema krivuljama je enak kotu med tangentama na ti dve krivuljo v presečišču krivulj. Za lažje razumevanje si to poglejmo grafično:






Kot med dvema premicama pa tudi že znamo izračnati:




kjer je smerni koeficient prve tangente in smerni koeficient druge tangente.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Določanje naraščanja in padanja funkcije in njenih stacionarnih točk



Ko rišemo grafe funkcije, želimo funkcijo narisati čimbolj natančno. Zato želimo določiti intervale naraščanja / padanja in določiti njene stacionarne točke (stacionarne točke so podrobneje opisane v podpoglavju, ki sledi).


Za lažje razumevanje snovi začnimo s primerom, ki ga že znamo rešiti:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Iz zgornjega primera ugotovimo, da funkcija najprej pada, potem začne naraščati. Ne vemo pa natanko, kje ima točko preobrata; tako so tipična vprašanja, na katera (še) ne znamo odgovoriti:

  • kje (natančno) funkcija doseže svoj minimum?

  • kje (natančno) funkcija iz padanja začne naraščati?

  • ali ima funkcija samo en minimum ali jih ima več?

Odgovore dobimo s pomočjo odvoda. Ob tem bomo pri iskanju točk preobrata potrebovali razumevanje lokalnega maksimuma in lokalnega minimuma; lokalne minimume in lokalne maksimume z eno besedo imenujemo lokalni ekstremi.


Funkcija f ima v točki lokalno največjo vrednost ali lokalni maksimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v manjše od funkcijske vrednosti . Največji med lokalnimi maksimumi je globalni maksimum.



Funkcija f ima v točki lokalno najmanjšo vrednost ali lokalni minimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v večje od funkcijske vrednosti . Največji med lokalnimi minimumi je globalni minimum.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Opomba: Lahko se zgodi, da ima funkcija v robni točki intervala [a,b] večjo vrednost kot je vrednost v največjem lokalnem maksimumu. Potem ima funkcija globalni maksimum v tej robni točki intervala [a,b]. Enako velja za globalni minimum.


Naraščanje in padanje funkcije



V točkah, v katerih je odvod funkcije pozitiven, funkcija narašča (odvod funkcije je namreč v posameznih točkah enak smernemu koeficientu tangente na krivuljo in če je smerni koeficient pozitiven, funkcija narašča), v točkah, v katerih je odvod funkcije negativen, pa funkcija pada.




Če je za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija na tem intervalu naraščajoča.


Če je za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija na tem intervalu padajoča.



V točki , kjer preide funkcija iz padanja v naraščanje ali iz naraščanja v padanje, ima lokalni ekstrem. V točki lokalnega ekstrema je odvod enak 0:




kar pomeni, da ima tangenta na krivuljo smerni koeficient enak nič: je torej vzporedna abscisni osi, kar je lepo razvidno s skice:


Točka lokalnega ekstrema: smerni koeficient (= odvod funkcije) tangente na krivuljo je enak 0



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stacionarne točke



Točkam, kjer je odvod funkcije enak nič - tangenta je takrat vzporedna x osi - pravimo stacionarne točke. V stacionarnih točkah se lahko nahaja lokalni minimum / maksimum oziroma prevoj.


Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni maksimum, če velja:




  • Odvod je levo od točke pozitiven, desno od pa negativen.



Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni minimum, če velja:




  • Odvod je levo od točke negativen, desno od pa pozitiven.



Srečamo pa se tudi s primeri stacionarnih točk, kjer funkcija ne doseže niti minimum niti maksimum. Tem točkam rečemo vodoravni prevoji za katere velja:


Funkcija ima v stacionarni točki vodoravni prevoj, če v njeni okolici odvod ne spremeni predznaka.



Ekstremalni problemi



S pomočjo odvoda lahko rešujemo tudi tako imenovane ekstremalne probleme. Ekstremalni problemi so navadno problemi, v katerih določiti količino 1 tako, da bo količina 2 maksimalna / minimalna.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Darja Zlodej