Prijava z e-naslovom
Prijava brez gesla
V tem poglavju si bomo ogledali kako lahko Odvod uporabljamo za različne namene.
Dana naj bo krivulja 
. V točki 
želimo določiti tangento na krivuljo. Ker je tangenta premica, se izračuna lotimo z enačbo za smerni koeficient premice:
Iz danega obrazca izpeljemo enačbo za tangento na funkcijo v točki :
Enačba tangente na krivuljo v točki je enaka:
Dana naj bo krivulja . V točki želimo določiti želimo določiti normalo na krivuljo.
Vemo, da je tangenta na krivuljo premica, ki se krivulje dotika v dani točki. Normala na krivuljo pa je premica, ki je pravokotna na tangento, poteka pa skozi isto točko, v kateri se tangenta dotika krivulje. Smerni koeficient normale je obraten in nasproten smernemu koeficientu tangente. Torej:
Izračunajmo enačbo normale na funkcijo v točki :
Enačba normale na krivuljo v točki je enaka:
V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in abscisa (x os).
Krivulja in tangenta sekata absciso pod enakim kotom:
Zato bomo, ko bomo iskali kot med krivuljo in x osjo, zares iskali kot med tangento na krivuljo in x osjo. Iz teorije vemo, da je tanges naklonskega kota enak smernemu koeficientu tangente:
S pomočjo trditve si poglejmo kako izračunamo naklonski kot:
Tangens naklonskega kota je enak odvodu funkcije v presečišču:
V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in ordinata (y os).
Spomnimo: kota sta komplementarna, kadar je njuna vsota 90°. Komplementarnost nam pride zelo prav, saj lahko s pomočjo skice razberemo, da sta kota 
(kot med krivuljo in x osjo) in 
(kot med krivuljo in y osjo) komplementarna:
Opazimo komplemetarnost kotov
Komplementarnost pomeni, da velja:
in ker že znamo izračunati kot (glej predhodnje poglavje), znamo zato izračunati tudi kot 
.
V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepata krivulji v njunem presečišču.
Kot med dvema krivuljama je enak kotu med tangentama na ti dve krivuljo v presečišču krivulj. Za lažje razumevanje si to poglejmo grafično:
Kot med dvema premicama pa tudi že znamo izračnati:
kjer je 
smerni koeficient prve tangente in 
smerni koeficient druge tangente.
Ko rišemo grafe funkcije, želimo funkcijo narisati čimbolj natančno. Zato želimo določiti intervale naraščanja / padanja in določiti njene stacionarne točke (stacionarne točke so podrobneje opisane v podpoglavju, ki sledi).
Za lažje razumevanje snovi začnimo s primerom, ki ga že znamo rešiti:
Iz zgornjega primera ugotovimo, da funkcija najprej pada, potem začne naraščati. Ne vemo pa natanko, kje ima točko preobrata; tako so tipična vprašanja, na katera (še) ne znamo odgovoriti:
kje (natančno) funkcija doseže svoj minimum?
kje (natančno) funkcija iz padanja začne naraščati?
ali ima funkcija samo en minimum ali jih ima več?
Odgovore dobimo s pomočjo odvoda. Ob tem bomo pri iskanju točk preobrata potrebovali razumevanje lokalnega maksimuma in lokalnega minimuma; lokalne minimume in lokalne maksimume z eno besedo imenujemo lokalni ekstremi.
Funkcija f ima v točki 
lokalno največjo vrednost ali lokalni maksimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v manjše od funkcijske vrednosti 
. Največji med lokalnimi maksimumi je globalni maksimum.
Funkcija f ima v točki lokalno najmanjšo vrednost ali lokalni minimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v večje od funkcijske vrednosti . Največji med lokalnimi minimumi je globalni minimum.
Opomba: Lahko se zgodi, da ima funkcija v robni točki intervala [a,b] večjo vrednost kot je vrednost v največjem lokalnem maksimumu. Potem ima funkcija globalni maksimum v tej robni točki intervala [a,b]. Enako velja za globalni minimum.
V točkah, v katerih je odvod funkcije pozitiven, funkcija narašča (odvod funkcije je namreč v posameznih točkah enak smernemu koeficientu tangente na krivuljo in če je smerni koeficient pozitiven, funkcija narašča), v točkah, v katerih je odvod funkcije negativen, pa funkcija pada.
Če je 
za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija 
na tem intervalu naraščajoča.
Če je 
za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija na tem intervalu padajoča.
V točki 
, kjer preide funkcija iz padanja v naraščanje ali iz naraščanja v padanje, ima lokalni ekstrem. V točki lokalnega ekstrema je odvod enak 0:
kar pomeni, da ima tangenta na krivuljo smerni koeficient enak nič: je torej vzporedna abscisni osi, kar je lepo razvidno s skice:
Točka lokalnega ekstrema: smerni koeficient (= odvod funkcije) tangente na krivuljo je enak 0
Točkam, kjer je odvod funkcije enak nič - tangenta je takrat vzporedna x osi - pravimo stacionarne točke. V stacionarnih točkah se lahko nahaja lokalni minimum / maksimum oziroma prevoj.
Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni maksimum, če velja:
Odvod je levo od točke pozitiven, desno od pa negativen.
Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni minimum, če velja:
Odvod je levo od točke negativen, desno od pa pozitiven.
Srečamo pa se tudi s primeri stacionarnih točk, kjer funkcija ne doseže niti minimum niti maksimum. Tem točkam rečemo vodoravni prevoji za katere velja:
Funkcija ima v stacionarni točki vodoravni prevoj, če v njeni okolici odvod ne spremeni predznaka.
S pomočjo odvoda lahko rešujemo tudi tako imenovane ekstremalne probleme. Ekstremalni problemi so navadno problemi, v katerih določiti količino 1 tako, da bo količina 2 maksimalna / minimalna.
