Operacije s funkcijami

Vsaka funkcija ima svoj osnovni predpis, ki določa njene lastnosti in obliko grafa.

Če osnovni predpis preoblikujemo, se funkcija spremeni, z njo pa tudi lega, oblika ali simetrija grafa funkcije.

V nadaljevanju si bomo podrobno ogledali operacije, ki jih lahko izvajamo nad funkcijami.

Tako kot geometrijske like v ravnini lahko transformiramo tudi funkcije. Transformacije si najlažje ogledamo na grafu funkcije.

Funkcijo vzporedno premaknemo tako, da:

dodamo ali pa odvzamemo konstantno vrednost.

Graf funkcije se s tem premakne po koordinatnem sistemu podobno kot geometrijski lik: levo, desno, gor ali dol, a brez spremembe oblike.

Če funkciji dodamo število , se njen graf:

Če neodvisni spremenljivki funkcije dodamo število , se njen graf:

Pri raztegu se graf funkcije razširi ali skrči, ne da bi spremenil svojo osnovno obliko.

Če funkcijo pomnožimo s poljubnim številom , se njen graf:

Če neodvisno spremenljivko funkcije pomnožimo s poljubnim številom , se njen graf:

Pri zrcaljenju se graf funkcije obrne preko osi ali preko osi .

Če funkcijo pomnožimo s številom -1, se vse zaloge vrednosti zamenjajo z nasprotnimi vrednostmi. Vsaka pozitivna vrednost postane negativna in obratno. Edino ničla funkcije ostane nespremenjena.

Graf take funkcije je čez os prezrcaljena slika grafa osnovne funkcije.

Če neodvisno spremenljivko funkcije pomnožimo s številom -1, potem bodo vrednosti funkcije pri pozitivnih -ih zamenjane s tistimi vrednostmi od negativnih -ov.

Graf take funkcije je čez os prezrcaljena slika grafa osnovne funkcije.

Absolutna vrednost funkcije ima povsod pozitivne vrednosti. Zapišemo jo:

Če imamo že narisan graf funkcije , potem graf absolutne vrednosti funkcije dobimo tako, da del, ki se nahaja pod osjo , preslikamo čez os .

Inverzna funkcija je predpis, ki za dano funkcijo obrne proces preslikave, tako da vsako vrednost preslika nazaj v original :

Z drugimi besedami, če funkcija preslika v , potem inverzna funkcija preslika nazaj v .

Pri tem je pomembno poudariti, da inverzna funkcija obstaja le za bijektivne funkcije. Če celotna funkcija ni bijektivna, potem lahko določimo inverz samo na intervalu, kjer je funkcija bijektivna. Poglejmo, zakaj je tako.

Bijektivna funkcija je hkrati:

Surjektivnost nam zagotavlja, da funkcija pokrije celotno zalogo vrednosti, injektivnost pa zagotavlja enoličnost preslikave, zato lahko iz vsake slike pridemo nazaj do natančno enega originala.

Predpis za inverzno funkcijo dobimo tako, da:

Originalna in inverzna funkcija imata med seboj zamenjani tudi definicijsko območje in zalogo vrednosti.

Graf inverzne funkcije lahko narišemo tudi brez iskanja predpisa inverzne funkcije. Na hitro ga dobimo tako, da prvotno funkcijo prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov, ki jo predstavlja premica .

​

Tako funkcijo najlažje prepoznamo po njenem grafu, ki je sestavljen iz več delov.

Poseben primer takih funkcij so stopničaste funkcije, ki imajo na posameznih intervalih konstantne vrednosti, zato njihov graf izgleda kot stopnice.

Odsekoma definirane funkcije imajo več predpisov, od katerih vsak velja na svojem intervalu definicijskega območja.

Graf take funkcije najenostavneje narišemo tako, da najprej v isti koordinatni sistem narišemo grafe za vse predpise, nato pa posamezen graf poudarimo na intervalu, kjer je definiran.

Do sedaj smo si ogledali operacije nad eno samo funkcijo, v nadaljevanju pa poglejmo še operacije nad dvema funkcijama, ki jih lahko razširimo tudi na več funkcij.

Funkcije lahko seštevamo, odštevamo, množimo, delimo ali sestavljamo skupaj.

Sestavljeno funkcijo (ali kompozitum funkcij) dobimo tako, da izhod ene funkcije uporabimo kot vhod v drugo funkcijo.

Imejmo funkciji in . Sestavimo funkcijo, ki namesto spremenljivke vzame drugo funkcijo:

Če je tako sestavljena funkcija definirana, potem jo enostavneje zapišemo s krožcem. Tak zapis običajno imenujemo kompozitum funkcij:

Naj bosta in funkciji, za kateri velja:

Spremenljivka je torej hkrati odvisna spremenljivka funkcije in neodvisna spremenljivka funkcije .

Vsako točko grafa sestavljene funkcije bi lahko posebej izračunali, tako da:

Ni pa potrebno risati vsake točke posebej. Hitrejši smo, če graf sestavljene funkcije s transformacijami grafov:

Rezultat je graf sestavljene funkcije .