Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Štirikotnik je geometrijski lik s štirimi oglišči in s štirimi stranicami.


Ker obravnavamo enostavne like, se omejimo na štirikotnike, katerih stranice se stikajo edino v ogliščih in se med seboj ne sekajo. Imenujemo jih enostavni štirikotniki.


Enostavne štirikotnike delimo na:


  • Konveksni štirikotniki


    Za konveksne štirikotnike velja:

    • Posamezen notranji kot je manjši ali enak 180°.

    • Vsaka daljica med dvema ogliščema se nahaja znotraj ali na robu lika.



    Konveksni štirikotnik



  • Konkavni štirikotniki


    Za konkavne štirikotnike velja:

    • Natanko en notranji kot je večji od 180°.

    • Obstaja daljica med dvema ogliščema, katere del se nahaja zunaj lika.



    Konkavni štirikotnik




Več o konveksnosti in konkavnosti si lahko preberete v poglavju o množicah.


V učbeniku se bomo posvetili predvsem konveksnim štirikotnikom. Posebej bodo obravnavani:

  • paralelogram (sem spadajo tudi romb, pravokotnik, kvadrat),

  • trapez

  • deltoid

  • ostali štirikotniki:

    • tetivni

    • tangentni in

    • bicentrični štirikotnik


Paralelogram



Paralelogram je štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Par predstavljata nasproti si stoječi stranici:




Za stranice in notranje kote paralelograma velja:

  • Vzporedni stranici sta enake dolžine.

  • Nasprotna kota skladna.

  • Sosednja kota sta sokota oz. suplementarna kota.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti skico paralelograma lahko poenostavimo:




Značilni elementi paralelograma



  • Diagonala


    Diagonala je daljica, ki povezuje nesosednja oglišča paralelograma.



    Paralelogram ima dve diagonali, ki razpolavljata ena drugo. Označimo jih z malima črkama e in f:




    Paralelogram je središčno simetričen lik s središčem simetrije v presečišču diagonal.



  • Višina


    Višina paralelograma je pravokotna razdalja med vzporednima stranicama.



    Paralelogram ima dve višini. Označujemo ju z in :




  • Notranji kot


    Notranji kot je konveksni kot z vrhom v oglišču paralelograma, njegova kraka pa potekata skozi sosednji oglišči. Notranje kote označujemo z malimi grškimi črkami. Skladna kota pri ogliščih A in C označimo z , skladna kota pri ogliščih B in D pa z :




    Vsota notranjih kotov paralelograma je 360° (polni kot).



  • Zunanji kot


    Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Zunanji koti so konveksni. Zunanje kote označujemo z malimi grškimi črkami, ki jim dodamo opuščaj - apostrof:




    Vsota zunanjih kotov paralelograma je 360° (polni kot).



Posebni primeri paralelograma



Romb



Romb ima v primerjavi s paralelogramom vse stranice skladne.


Lastnosti romba:

  • Vse stranice so enake dolžine.

  • Nasprotna kota skladna.

  • Sosednja kota sta sokota oz. suplementarna kota.

  • Diagonali se sekata pod pravim kotom.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti je skica romba naslednja:




Pravokotnik



Pravokotnik ima v primerjavi s paralelogramom skladne vse kote.


Lastnosti pravokotnika:

  • Vzporedni stranici sta enake dolžine.

  • Vsi koti so skladni in merijo 90°.

  • Diagonali sta skladni in se razpolavljata.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti je skica pravokotnika naslednja:





Kvadrat



Kvadrat ima v primerjavi s paralelogramom skladne vse stranice in vse kote.


Lastnosti kvadrata:

  • Vse stranice so enake dolžine.

  • Vsi koti so skladni in merijo 90°.

  • Diagonali sta skladni, se razpolavljata in se sekata pod pravim kotom.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti je skica kvadrata naslednja:




Kvadrat je pravilni štirikotnik, ker so vse njegove stranice enako dolge in vsi njegovi koti med seboj skladni.



Obseg paralelograma



Obseg paralelograma se izračuna na naslednji način:


Splošna formula za obseg paralelograma:




Obseg za posebne primere paralelograma se glasi:


Obseg romba in kvadrata:




Obseg pravokotnika:




Ploščina paralelograma



Ploščina paralelograma se izračuna na naslednji način:


Splošna formula za ploščino paralelograma:




Ploščina za posebne primere paralelograma se glasi:


Ploščina romba:




Ploščina pravokotnika:




Ploščina kvadrata:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ko paralelogram razdelimo na trikotnike, lahko v njem uporabljamo trikotniške izreke.



Trapez



Trapez je štirikotnik z enim parom vzporednih stranic.


Par predstavljata nasproti si stoječi stranici; ti dve stranici imenujemo osnovnici, preostali dve stranici pa imenujemo kraka:




V trapezu sta sosednja notranja kota ob krakih sokota oz. suplementarna kota:






Značilni elementi trapeza



  • Diagonala


    Diagonala je daljica, ki povezuje nesosednja oglišča trapeza.



    Trapez ima dve diagonali:




    Za diagonali trapeza velja, da je razmerje med odseki delitve diagonal enako razmerju med dolžinami osnovnic:




    pri čemer je prva diagonala




    in druga diagonala




  • Srednjica


    Srednjica je daljica, ki je vzporedna osnovnicama in povezuje središči nevzporednih stranic b in d.



    Srednjica m poteka od razpolovišča enega kraka do razpolovišča drugega kraka trapeza



    Dolžina srednjice je enaka srednji vrednosti osnovnic a in c:




    Običajno se srednjico označuje z malo črko s, da pa je ne bomo zamenjevali s polovičnim obsegom trikotnika, ki se prav tako označi z malo črko s, smo si zanjo izbrali oznako m.


  • Višina


    Višina trapeza je pravokotna razdalja med osnovnicama.



    Označimo jo z malo črko v:




  • Notranji kot


    Notranji kot je konveksni kot z vrhom v oglišču trapeza, njegova kraka pa potekata skozi sosednji oglišči. Notranje kote označujemo z malimi grškimi črkami , , in :




    Vsota notranjih kotov trapeza je 360° (polni kot).



  • Zunanji kot


    Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Zunanji koti so konveksni. Zunanje kote označujemo z malimi grškimi črkami, ki jim dodamo opuščaj - apostrof:




    Vsota zunanjih kotov trapeza je 360° (polni kot).



Posebni primeri trapeza



Enakokrak trapez



Enakokrak trapez ima v primerjavi s splošnim trapezom skladna kraka in sosednja notranja kota ob osnovnicah.


Lastnosti enakokrakega trapeza:

  • Kraka trapeza sta enake dolžine.

  • Sosednja notranja kota ob osnovnicah sta skladna.

  • Diagonali sta skladni.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti je skica enakokrakega trapeza naslednja:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pravokotni trapez



V Enakokrakem trapezu je v primerjavi s splošnim trapezom eden od krakov pravokoten na osnovnici.


Lastnosti pravokotnega trapeza:

  • Eden od krakov je pravokoten na osnovnici.

  • Pravokotni krak je skladen višini trapeza.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti je skica enakokrakega trapeza naslednja:




Obseg trapeza



Obseg trapeza se izračuna na naslednji način:


Splošna formula za obseg trapeza:




Obseg za posebne primere trapeza se glasi:


Obseg enakokrakega trapeza:




Obseg pravokotnega trapeza:




Ploščina trapeza



Ploščina trapeza se izračuna na naslednji način:


Splošna formula za ploščino trapeza se glasi:




pri čemer je m srednjica trapeza, tj. srednja vrednost osnovnic a in c:




Ploščina za posebne primere trapeza se glasi:


Ploščina enakokrakega trapeza:




S pomočjo Pitagorovega izreka izrazimo višino s stranicami:




Ploščino enakokrakega trapeza lahko zapišemo tudi kot:




Ploščina pravokotnega trapeza:




saj je višina enaka stranici d.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ko trapez razdelimo na trikotnike, lahko v njem uporabljamo trikotniške izreke.



Deltoid



Deltoid je štirikotnik z dvema paroma stranic enake dolžine:




Za stranice in notranje kote deltoida velja:

  • Deltoid ima dva para sosednjih skladnih stranic.

  • Kota med neskladnimi stranicami sta enaka.



Ob upoštevanju zgornjih lastnosti skico paralelograma lahko poenostavimo:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Značilni elementi deltoida



  • Diagonala


    Diagonala je daljica, ki povezuje nesosednja oglišča deltoida.



    Deltoid ima dve diagonali, ki se sekata pod pravim kotom. Ena izmed diagonal predstavlja simetralo lika in hkrati razpolavlja drugo diagonalo:


    Diagonala f predstavlja simetralo lika in hkrati razpolavlja diagonalo e.



    Deltoid je osno simetričen geometrijski lik, pri čemer simetralo predstavlja ena od diagonal.



  • Notranji kot


    Notranji kot je konveksni kot z vrhom v oglišču deltoida, njegova kraka pa potekata skozi sosednji oglišči. Notranje kote označujemo z malimi grškimi črkami. Skladna kota pri ogliščih A in C označimo z , kota pri ogliščih B in D pa z oziroma :




    Vsota notranjih kotov deltoida je 360° (polni kot).



  • Zunanji kot


    Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Zunanji koti so konveksni. Zunanje kote označujemo z malimi grškimi črkami, ki jim dodamo opuščaj - apostrof:




    Vsota zunanjih kotov deltoida je 360° (polni kot).



Obseg deltoida



Obseg deltoida se izračuna na naslednji način:




Ploščina deltoida



Ploščina deltoida se izračuna na naslednji način:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ko deltoid razdelimo na trikotnike, lahko v njem uporabljamo trikotniške izreke.



Ostali štirikotniki



Tetivni štirikotnik



Tetivnemu štirikotniku lahko očrtamo krožnico:




Tetivni štirikotnik ima nasprotna kota suplementarna:






Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tangentni štirikotnik



Tangentnemu štirikotniku lahko včrtamo krožnico:




V tangentnem štirikotniku je vsota dolžin dveh nasprotnih stranic enaka vsoti dolžin drugih dveh nasprotnih stranic:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Bicentrični štirikotnik



Je hkrati tetivni in tangentni štirikotnik. Imenujemo ga tudi tetivnotangentni štirikotnik.


Tangentnemu štirikotniku krožnico lahko tako očrtamo kot tudi včrtamo:




V bicentričnem štirikotniku veljajo naslednje zakonitosti:








Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.