matematika fb
 

Konstruiranje paralelograma



Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Paralelogram konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije osnovnih geometrijskih elementov in kotov.


Za konstrukcijo paralelograma potrebujemo tri neodvisne podatke. Ti podatki so kombinacija:

  • stranic

  • notranjih kotov

  • višin

  • diagonal


Pred vsako konstrukcijo paralelograma narišemo skico, ki nam služi za orientacijo pri risanju. Na skici po možnosti označimo vsak podatek s svojo barvo.


V nadaljevanju so opisani koraki konstrukcije za različne kombinacije podatkov. Navedeni so tudi pogoji za izvedbo konstrukcije, če ti obstajajo.


Posamična konstrukcija ima lahko več možnih rešitev. Spodnja predpostavka število rešitev nekoliko omeji in s tem ohranja preglednost gradiva:


Konstrukcije z več možnimi rešitvami so izvedene ob predpostavki, da je v paralelogramu kot ostri kot.



Podane so stranice in koti



Obe stranici in kot



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja stranic in kota:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je dvojna vrednost podanega kota večja od 0° in manjša od 360°.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz lastnosti notranjih kotov v paralelogramu:


Vsota notranjih kotov v paralelogramu je 360°, pri čemer sta nasprotna kota skladna.



Skica




1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B:




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


Konstruiramo kot z vrhom v točki A. Vodoravni krak kota sovpada z nosilko daljice AB, poševni krak pa je usmerjen proti oglišču D paralelograma (glej skico):




3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice b.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču D paralelograma (glej skico), tako da seka krak kota . Tako nastalo presečišče označimo s točko D:




Daljica AD predstavlja stranico b paralelograma, točka D pa je tretje oglišče paralelograma.


4. korak


Narišemo vzporednico vodoravnemu kraku kota skozi točko D in jo označimo s p:




5. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice a.

  • Šestilo zapičimo v točko D.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




Daljica DC predstavlja stranico a paralelograma, točka C pa je četrto oglišče paralelograma.


6. korak


Z ravnilom povežemo točki B in C:




Daljica BC predstavlja stranico b paralelograma.


Podane so stranice, koti in višine



Obe stranici in višina na eno izmed njih



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja stranic in višine:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je podana višina krajša od tiste podane stranice, ki ne pripada tej višini.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz Pitagorovega izreka; v pravokotnem trikotniku je katera koli kateta vedno krajša od hipotenuze.


Dopuščamo tudi možnost, da sta obravnavani višina in stranica enako dolgi; v tem primeru je paralelogram pravokotnik.



Skica




1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B (glej skico):




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


Narišemo vzporednico daljici AB na razdalji in jo označimo s p:




3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice b.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti proti oglišču D paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko D:




Z ravnilom povežemo točki A in D:




Daljica AD predstavlja stranico b paralelograma, točka D pa je tretje oglišče paralelograma.


4. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice a.

  • Šestilo zapičimo v točko D.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




Daljica DC predstavlja stranico a paralelograma, točka C pa je četrto oglišče paralelograma.


5. korak


Z ravnilom povežemo točki B in C:




Daljica BC predstavlja stranico b paralelograma.


Kot in obe višini



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja kota in višin:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je dvojna vrednost podanega kota večja od 0° in manjša od 360°.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz lastnosti notranjih kotov v paralelogramu:


Vsota notranjih kotov v paralelogramu je 360°, pri čemer sta nasprotna kota skladna.



Skica




1. korak


Konstruiramo kot z vrhom v točki A. Točka A predstavlja prvo oglišče paralelograma. Vodoravni krak kota je usmerjen proti oglišču B, poševni krak pa proti oglišču D paralelograma (glej skico):




2. korak


  • Narišemo vzporednico vodoravnemu kraku kota na razdalji in jo označimo s p

  • Točko, kjer premica p seka poševni krak kota , označimo z D:




Točka D predstavlja drugo oglišče, daljica AD pa stranico b paralelograma.


3. korak


  • Narišemo vzporednico daljici AD na razdalji in jo označimo s q.

  • Točko, kjer premica q seka vodoravni krak kota , označimo z B.

  • Točko, kjer premica q seka premico p, označimo s C:




Daljici AB in DC predstavljata stranico a, daljica BC pa stranico b paralelograma. Točki B in C sta tretje oz. četrto oglišče paralelograma:




Kot, stranica in višina nanjo



Možni so štirje načini tovrstnega podajanja kota, stranice in višine:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je dvojna vrednost podanega kota večja od 0° in manjša od 360°.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz lastnosti notranjih kotov v paralelogramu:


Vsota notranjih kotov v paralelogramu je 360°, pri čemer sta nasprotna kota skladna.



Skica




1. korak


Konstruiramo kot z vrhom v točki A. Točka A predstavlja prvo oglišče paralelograma. Vodoravni krak kota je usmerjen proti oglišču B, poševni krak pa proti oglišču D paralelograma (glej skico):




2. korak


  • Narišemo vzporednico vodoravnemu kraku kota na razdalji in jo označimo s p

  • Točko, kjer premica p seka poševni krak kota , označimo z D:




Točka D predstavlja drugo oglišče, daljica AD pa stranico b paralelograma.


3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice a.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču B paralelograma (glej skico), tako da seka vodoravni krak kota . Tako nastalo presečišče označimo s točko B:




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, točka B pa je tretje oglišče paralelograma.


4. korak


Narišemo vzporednico poševnemu kraku kota skozi točko B in jo označimo s q. Točko, kjer premica q seka premico p, označimo s C:




Točka C predstavlja četrto oglišče, daljica DC pa stranico a paralelograma.


5. korak


Z ravnilom povežemo točki B in C:




Daljica BC predstavlja stranico b paralelograma.


Podane so stranice, koti, višine in diagonale



Stranica, višina nanjo in diagonala



Možni so štirje načini tovrstnega podajanja stranice, višine in diagonale:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je:


  • podana višina krajša od podane diagonale.


    Prvi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




    Pogoj izvira iz Pitagorovega izreka; v pravokotnem trikotniku je katera koli kateta vedno krajša od hipotenuze.


  • zadoščen pogoj trikotniške neenakosti v manjšem trikotniku, ki ga sestavljajo stranici in diagonala paralelograma.


    Drugi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:


    Vsota dolžin katerihkoli dveh stranic v manjšem trikotniku je večja od dolžine tretje stranice le-tega:








Skica




1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B (glej skico):




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


Narišemo vzporednico daljici AB na razdalji in jo označimo s p:




3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




Točka C pa predstavlja tretje oglišče paralelograma.


4. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice a.

  • Šestilo zapičimo v točko C.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču D paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko D:




Daljica DC predstavlja stranico a paralelograma, točka D pa je četrto oglišče paralelograma.


5. korak


Z ravnilom povežemo točki A in D ter B in C:




Daljici AD in BC predstavljata stranico b paralelograma.


Obe stranici in diagonala



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja stranic in diagonale:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je zadoščen pogoj trikotniške neenakosti v manjšem trikotniku, ki ga sestavljajo stranici in diagonala paralelograma.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:


Vsota dolžin katerihkoli dveh stranic v manjšem trikotniku je večja od dolžine tretje stranice le-tega:








Skica




1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B:




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču C paralelograma (glej skico):




3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice b.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka predhodno narisan krožni lok. Presečišče krožnih lokov označimo s točko C:




Točka C predstavlja tretje oglišče paralelograma.


4. korak


Z ravnilom povežemo točki B in C:




Daljica BC predstavlja stranico b paralelograma.


5. korak


Narišemo vzporednico daljici AB skozi točko C in jo označimo s p:




6. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino stranice a.

  • Šestilo zapičimo v točko C.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču D paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko D:




Daljica DC predstavlja stranico a paralelograma, točka D pa je četrto oglišče paralelograma.


7. korak


Z ravnilom povežemo točki A in D:




Daljica AD predstavlja stranico b paralelograma.


Kot, višina in diagonala



Možnih je 8 načinov tovrstnega podajanja kota, višine in diagonale:


V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je:


  • dvojna vrednost podanega kota večja od 0° in manjša od 360°.


    Prvi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




    Pogoj izvira iz lastnosti notranjih kotov v paralelogramu:


    Vsota notranjih kotov v paralelogramu je 360°, pri čemer sta nasprotna kota skladna.



  • podana višina krajša od podane diagonale.


    Drugi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




    Pogoj izvira iz Pitagorovega izreka; v pravokotnem trikotniku je katera koli kateta vedno krajša od hipotenuze.


Skica




1. korak


Konstruiramo kot z vrhom v točki A. Točka A predstavlja prvo oglišče paralelograma. Vodoravni krak kota je usmerjen proti oglišču B, poševni krak pa proti oglišču D paralelograma (glej skico):




2. korak


  • Narišemo vzporednico vodoravnemu kraku kota na razdalji in jo označimo s p

  • Točko, kjer premica p seka poševni krak kota , označimo z D:




Točka D predstavlja drugo oglišče, daljica AD pa stranico b paralelograma.


3. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




Točka C predstavlja tretje oglišče, daljica DC pa stranico a paralelograma:




4. korak


Narišemo vzporednico poševnemu kraku kota skozi točko C in jo označimo s q. Točko, kjer premica q seka premico p, označimo z B:




Točka B predstavlja četrto oglišče, daljica AB stranico a, daljica BC pa stranico b paralelograma:




Stranica, kot in diagonala



Možnih je 8 načinov tovrstnega podajanja stranice, kota in diagonale:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je:


  • dvojna vrednost podanega kota večja od 0° in manjša od 360°.


    Prvi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




    Pogoj izvira iz lastnosti notranjih kotov v paralelogramu:


    Vsota notranjih kotov v paralelogramu je 360°, pri čemer sta nasprotna kota skladna.



  • zadoščen pogoj trikotniške neenakosti v manjšem trikotniku, ki ga sestavljajo stranici in diagonala paralelograma.


    Drugi pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:


    Vsota dolžin katerihkoli dveh stranic v manjšem trikotniku je večja od dolžine tretje stranice le-tega:









Skica




1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B:




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


Konstruiramo kot z vrhom v točki A. En krak kota sovpada z nosilko daljice AB, drugi krak pa je usmerjen proti oglišču D paralelograma (glej skico):




3. korak


Narišemo vzporednico poševnemu kraku kota skozi točko B in jo označimo s p:




4. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti proti oglišču C paralelograma (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




Točka C predstavlja tretje oglišče, daljica BC pa stranico b paralelograma:




5. korak


Narišemo vzporednico vodoravnemu kraku kota skozi točko C in jo označimo s q. Točko, kjer premica q seka premico p, označimo z D:




Točka D predstavlja četrto oglišče, daljica DC stranico a, daljica AD pa stranico b paralelograma:




Stranica in obe diagonali



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja stranic in diagonale:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je zadoščen pogoj trikotniške neenakosti v manjšem trikotniku, ki ga sestavljajo podana stranica in polovici diagonal paralelograma.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:


Vsota dolžin katerihkoli dveh stranic v manjšem trikotniku je večja od dolžine tretje stranice le-tega:








Skica




Pri konstrukciji upoštevamo, da diagonali v paralelogramu razpolavljata ena drugo. Omenjeno lastnost upoštevamo v petem in šestem koraku konstrukcije.


1. korak


Narišemo daljico dolžine a. Končni točki daljice označimo z A in B:




Daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, A in B pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


  • V šestilo vzamemo polovično dolžino dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti presečišču diagonal (glej skico):




3. korak


  • V šestilo vzamemo polovično dolžino dolžino diagonale f.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti presečišču diagonal (glej skico), tako da seka predhodno narisan krožni lok. Presečišče krožnih lokov označimo s točko E:




Točka E predstavlja presečišče diagonal v paralelogramu.


4. korak


  • Z ravnilom povežemo točki A in E ter točki B in E.

  • Narišemo nosilko daljice AE in jo označimo s p.

  • Narišemo nosilko daljice BE in jo označimo s q:




5. korak


Točko A prezrcalimo čez točko E in njeno preslikavo označimo s točko C:




Točka C predstavlja tretje oglišče paralelograma.


6. korak


Točko B prezrcalimo čez točko E in njeno preslikavo označimo s točko D:




Točka D predstavlja četrto oglišče paralelograma.


7. korak


Z ravnilom povežemo točke B in C, C in D ter A in D:




Daljica DC predstavlja stranico a, daljici AD in BC pa stranico b paralelograma.


Višina in obe diagonali



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja višine in diagonal:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če je polovična vrednost podane višine krajša od polovične vrednosti podanih diagonal.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz Pitagorovega izreka; v pravokotnem trikotniku je katera koli kateta vedno krajša od hipotenuze.


Skica




Pri konstrukciji upoštevamo, da razpolovišče diagonal v paralelogramu razpolavlja tudi višini paralelograma. Omenjeno lastnost upoštevamo v prvem koraku konstrukcije.


Prav tako upoštevamo, da je paralelogram središčno simetričen lik s središčem simetrije v presečišču diagonal. Omenjeno lastnost upoštevamo v petem in šestem koraku konstrukcije.


1. korak


Narišemo vzporednici z medsebojno razdaljo ter jih označimo s p in q:




2. korak


Na premici p označimo poljubno točko A:




Točka A predstavlja eno izmed štirih oglišč paralelograma.


3. korak


  • V šestilo vzamemo polovično dolžino dolžino diagonale e.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti presečišču diagonal (glej skico), tako da seka premico q. Tako nastalo presečišče označimo s točko E:




Točka E predstavlja presečišče diagonal v paralelogramu.


4. korak


  • V šestilo vzamemo polovično dolžino dolžino diagonale f.

  • Šestilo zapičimo v točko E.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v smeri proti oglišču B (glej skico), tako da seka premico p. Tako nastalo presečišče označimo s točko B:




Točka B predstavlja drugo oglišče, daljica AB pa stranico a paralelograma:




5. korak


  • Narišemo nosilko daljice AE in jo označimo z r.

  • Točko A prezrcalimo čez točko E in njeno preslikavo označimo s točko C:




Točka C predstavlja tretje oglišče paralelograma.


6. korak


  • Narišemo nosilko daljice BE in jo označimo z s.

  • Točko B prezrcalimo čez točko E in njeno preslikavo označimo s točko D:




Točka D predstavlja četrto oglišče paralelograma.


7. korak


Z ravnilom povežemo točke B in C, C in D ter A in D:




Daljica DC predstavlja stranico a, daljici AD in BC pa stranico b paralelograma.


Obe višini in diagonala



Možna sta dva načina tovrstnega podajanja višin in diagonale:



V nadaljevanju so opisani koraki za prvo kombinacijo iz zgornje tabele.


Pogoj za izvedbo konstrukcije


Konstrukcija je možna, če sta podani višini krajši od podane diagonale.


Pogoj za prvo kombinacijo iz tabele se glasi:




Pogoj izvira iz Pitagorovega izreka; v pravokotnem trikotniku je katera koli kateta vedno krajša od hipotenuze.


Skica




Pri konstrukciji upoštevamo, da diagonali v paralelogramu razpolavljata ena drugo. Omenjeno lastnost upoštevamo v drugem koraku konstrukcije.


Prav tako upoštevamo, da razpolovišče diagonal v paralelogramu razpolavlja tudi višini paralelograma. Omenjeno lastnost upoštevamo v korakih od 3 do 8.


1. korak


Narišemo daljico dolžine e. Končni točki daljice označimo z A in C (glej skico):




Daljica AC predstavlja diagonalo e paralelograma, A in C pa sta dve izmed štirih oglišč paralelograma.


2. korak


Konstruiramo razpolovišče daljice AC in ga označimo s točko E:




Točka E predstavlja presečišče diagonal v paralelogramu.


3. korak


Konstruiramo krožnico s središčem v točki E in polmerom :




4. korak


Konstruiramo tangento na krožnico s polmerom ; tangenta poteka skozi točko A.


Skozi točko A obstajata po dve tangenti na krožnico s polmerom .


Pri konstruiranju upoštevamo le tisto tangento, ki je nosilka daljice AB (glej skico), saj daljica AB predstavlja stranico a paralelograma, ta pa je pravokotna na . Tangento označimo s t:




5. korak


Konstruiramo tangento na krožnico s polmerom ; tangenta poteka skozi točko C.


Skozi točko C obstajata po dve tangenti na krožnico s polmerom .


Pri konstruiranju upoštevamo le tisto tangento, ki je nosilka daljice DC (glej skico), saj daljica DC predstavlja stranico a paralelograma, ta pa je pravokotna na . Tangento označimo z u:




6. korak


Konstruiramo krožnico s središčem v točki E in polmerom :




7. korak


Konstruiramo tangento na krožnico s polmerom ; tangenta poteka skozi točko A.


Skozi točko A obstajata po dve tangenti na krožnico s polmerom .


Pri konstruiranju upoštevamo le tisto tangento, ki je nosilka daljice BC (glej skico), saj daljica BC predstavlja stranico b paralelograma, ta pa je pravokotna na . Tangento označimo z v:




8. korak


Konstruiramo tangento na krožnico s polmerom ; tangenta poteka skozi točko C.


Skozi točko C obstajata po dve tangenti na krožnico s polmerom .


Pri konstruiranju upoštevamo le tisto tangento, ki je nosilka daljice AD (glej skico), saj daljica AD predstavlja stranico b paralelograma, ta pa je pravokotna na . Tangento označimo z z:




9. korak


  • Presečišče tangent t in z označimo s točko B.

  • Presečišče tangent u in v označimo s točko D:




Daljici AB in DC predstavljata stranico a, daljici AD in BC pa stranico b paralelograma. Točke A, B, C in D so oglišča paralelograma:





glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.