Potenčna funkcija fb
 

Potenčna funkcija




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Spoznali smo že potence s celimi eksponenti. V tem gradivu nas bo pa zanimalo, kako lahko narišemo graf, v katerem "nastopa potenca". Takemu grafu pravimo potenčna funkcija, zapišemo pa jo z:




oziroma, zapisano bolj splošno:




Pri tem je n celo število.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primerov, ko je n = 0 ali n = 1 ne bomo obravnavali, saj sta to posebna primera potenčnih funkcij, ki ju obravnavamo v ločenih gradivih (Linearna funkcija )



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Potenčne funkcije bomo razdelili na dve družini:

  • Potenčne funkcije z pozitivnim (naravnim) eksponentom:

  • Potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom:


Vsako izmed družin bomo obravnavali posebej.


Potenčne funkcije s pozitivnim celim eksponentom



Tudi to družino funkcij bomo razdelili na dve poddružini:


  • potenčne funkcije z naravnim sodim eksponentom


    Primer

    Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
     
     
    Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


  • potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom


    Primer

    Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
     
     
    Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vsako poddružino bomo obravnavali posebej, saj imajo potenčne funkcije v isti družini med seboj podobne lastnosti.


Potenčna funkcija s pozitivnim sodim eksponentom



Sodo število n v splošnem zapišemo:




Torej: za katerikoli k, ki je naravno število, bo sodo. Posledično potenčno funkcijo, ki ima naravni sodi eksponent, v splošnem zapišemo:




Skupne lastnosti potenčnih funkcij s pozitivnim sodim eksponentom bomo najlažje razumeli, če si najprej pogledamo nekaj konkretnih potenčnih funkcij.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ob opazovanju slike iz gornjega primera, ugotovimo, da je graf potenčnih funkcij z naravnim sodim eksponentom parabola ; hkrati pa, da imajo te funkcije še nekatere druge enake lastnosti.


Lastnosti potenčnih funkcij oblike , kjer je n pozitivni in sodi eksponent, so:


  • funkcija je definirana (obstaja) za vsak x, kar pomeni da predstavljajo definicijsko območje vsa realna števila. Matematično definicijsko območje () potenčne funkcije zapišemo:




  • Zaloga vrednosti so vsi y, ki jih funkcija zajame; iz grafa lahko vidimo, da predstavljajo nenegativna realna števila. Matematično zalogo vrednosti () potenčne funkcije zapišemo:




  • grafi potekajo vedno skozi tri skupne točke A(1,1), B(-1,1) in O(0,0);


  • imajo eno ničlo pri ;


  • so padajoče za in naraščajoče za ;


  • najmanjša vrednost, ki jo funkcija doseže, je 0, kar pomeni da so funkcije navzdol omejene - pa predstavlja najmanjšo spodnjo mejo;


  • funkcija je soda, kadar je graf funkcije zrcalen glede na ordinatno os. Iz te definicije sklepamo, da so potenčne funkcije z naravnim sodim eksponentom sode funkcije;




Potenčna funkcija s pozitivnim lihim eksponentom



Liho število n v splošnem zapišemo:




Torej: za katerikoli k, ki je naravno število, bo liho. Posledično potenčno funkcijo, ki ima naravni lihi eksponent, v splošnem zapišemo:




Tudi v tem primeru bomo skupne lastnosti potenčnih funkcij s pozitivnim lihim eksponentom najlažje razumeli, če si najprej pogledamo nekaj konkretnih potenčnih funkcij.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ugotovimo, da imajo potenčne funkcije te družine med seboj podobne grafe (oblike sedla) in hkrati enake še nekatere druge lastnosti:


Lastnosti potenčnih funkcij oblike , kjer je n pozitivni in lihi eksponent, so:


  • funkcija (f(x) ali y) je definirana (obstaja) za vsak x, kar pomeni da predstavljajo definicijsko območje vsa realna števila. Matematično definicijsko območje () potenčne funkcije zapišemo:




  • Zaloga vrednosti so vsi y, ki jih funkcija zajame; iz grafa lahko vidimo, da predstavljajo vsa realna števila. Matematično zalogo vrednosti () potenčne funkcije zapišemo:




  • grafi potekajo vedno skozi tri skupne točke A(1, 1), B(–1, –1) in O(0, 0);


  • imajo eno ničlo pri ;


  • so povsod naraščajoče;


  • funkcije ne dosežejo najmanjše in tudi ne največje vrednosti, saj gredo v neskončnost. Temu pravimo, da je funkcija neomejena.


  • Funkcija je liha, kadar je graf funkcije zrcalen glede na koordinatno izhodišče. Iz te definicije sklepamo, da so potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom lihe funkcije.


  • so bijektivne funkcije.



Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom



Tudi to družino funkcij bomo razdelili na dve poddružini:


  • potenčne funkcije z negativnim sodim eksponentom


    Primer

    Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
     
     
    Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


  • potenčne funkcije z negativnim lihim eksponentom


    Primer

    Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
     
     
    Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vsako poddružino bomo obravnavali posebej, saj imajo potenčne funkcije v isti družini med seboj podobne lastnosti.


Potenčna funkcija z negativnim sodim eksponentom



Tako kot prej, da bomo imeli jasno predstavo o družini funkcij, ki jo obravnavamo, se najprej spoznajmo z nekaj konkretnimi funkcijami iz te družine.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če si ogledamo graf iz zadnjega primera, prepoznamo dve pomembni lastnosti:


  • Asimptota


    Grafi funkcij se daleč od izhodišča približujejo abscisni osi in je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da je abscisna os vodoravna asimptota teh funkcij.


  • Pol


    Grafi funkcij v okolici koordinatnega izhodišča se zelo strmo dvigajo in približujejo k ordinatni osi - ki pa je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da imajo funkcije pri pol. V polu funkcija ni definirana, poglejmo zakaj:




    Opazimo, da če za x vstavimo 0, dobimo ulomek z imenovalcem 0. Vemo, da deljenje z 0 da nedefinirano vrednost. Očtino, skozi pol poteka navpična asimptota.


Asimptota je premica (lahko je vodoravna, poševna ali navpična), za katero velja, da se ji grafi funkcij v neskončnosti približujejo vendar je nikoli ne dosežejo. Ponavadi jo v koordinatnem sistemu označimo z črtkano premico.


Poli funkcije so območja, kjer funkcija ni definirana. Skozi vsak pol poteka navpična asimptota.



Ob opazovanju grafov opazimo še nekatere druge pomembne skupne lastnosti:


Lastnosti potenčnih funkcij z negativnim sodim eksponentom:


  • funkcija je definirana za vsak x razen za , kar pomeni da predstavljajo definicijsko območje vsa realna števila brez števila 0. Matematično definicijsko območje zapišemo:




  • Zaloga vrednosti so vsi y, ki se pojavijo v grafu. Očitno so to samo pozitivna realna števila. Matematično zalogo vrednosti zapišemo:




  • grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in B(–1, 1);


  • imajo pol pri ;


  • os x je vodoravna asimptota;


  • najmanjša vrednost, ki jo funkcija doseže je 0, iz česar sledi, da so navzdol omejene: ;


  • nimajo ničel;


  • so padajoče za in naraščajoče za ;


  • grafi so zrcalni glede na ordinatno os - torej so funkcije sode;


  • niso bijektivne funkcije.



Potenčne funkcije z negativnim lihim eksponentom



In spet, za boljšo predstavo, se najprej spoznajmo z nekaj konkretnimi funkcijami iz družine, ki jo obravnavamo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če si ogledamo graf iz zadnjega primera, prepoznamo dve pomembni lastnosti:


  • Asimptota


    Grafi funkcij se daleč od izhodišča približujejo abscisni osi in je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da je abscisna os vodoravna asimptota teh funkcij.


  • Pol


    Grafi funkcij v okolici koordinatnega izhodišča se zelo strmo dvigajo / spuščajo in približujejo k ordinatni osi - ki pa je nikoli ne dosežejo. Pravimo, da imajo funkcije pri pol. V polu funkcija ni definirana, poglejmo zakaj:




    Opazimo, da če za x vstavimo 0, dobimo ulomek z imenovalcem 0. Vemo, da deljenje z 0 da nedefinirano vrednost. Očtino, skozi pol poteka hkrati navpična asimptota.


Ob opazovanju grafov opazimo še nekatere druge pomembne skupne lastnosti:


Lastnosti potenčnih funkcij z negativnim lihim eksponentom:


  • funkcija je definirana za vsak x razen za , kar pomeni, da predstavljajo definicijsko območje vsa realna števila brez števila 0. Matematično definicijsko območje zapišemo:




  • Zaloga vrednosti so vsi y, ki se pojavijo v grafu. Očitno so to vsa realna števila razen števila 0 (asimptoti se graf približuje, a je ne doseže). Matematično zalogo vrednosti zapišemo:




  • grafi potekajo skozi dve skupni točki A(1, 1) in B(–1, –1);


  • imajo pol pri ;


  • os x je vodoravna asimptota;


  • so povsod padajoče;


  • so neomejene;


  • grafi so zrcalni glede na koordinatno izhodišče - torej so funkcije lihe;


  • so bijektivne funkcije.



Potenčna funkcija: premiki in raztegi



Z osnovnim grafom potenčne funkcije oblike:




smo se že seznanili. V tem gradivu pa si bomo pogledali še grafe modificiranih potenčnih funkcij. Potenčne funkcije so lahko:

  • togo premaknjene v smeri ordinatne osi (premik grafa funkcije navzgor ali navzdol);

  • togo premaknjene v smeri abscisne osi (premik grafa funkcije v levo ali desno);

  • zrcaljene prek abscisne osi;

  • raztegnjene / skrčene vzdolž ordinatne osi.

V nadaljevanju si bomo te modifikacije podrobneje ogledali.


Graf potenčne funkcije oblike g(x) = f(x) + n



Naj bo dana že znana potenčna funkcija f(x). Kaj se zgodi, če znani funkciji prištejemo (ali odštejemo) neko realno število n?


Graf funkcije dobimo tako, da (znani) graf funkcije f(x) togo premaknemo za n v smeri osi y:

  • navzgor, če je n > 0,

  • navzdol, če je n < 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Grafi funkcij oblike g(x) = f(x + k)



Naj bo dana že znana potenčna funkcija f(x). Kaj se zgodi, če neodvisno spremenljivko x povečamo (ali zmanjšamo) za neko realno število n?


Graf funkcije dobimo tako, da (znani) graf funkcije f(x) togo premaknemo za k v smeri osi x:

  • v levo, če je k > 0,

  • v desno, če je k < 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Grafi funkcij oblike g(x) = -f(x)



Naj bo dana že znana potenčna funkcija f(x). Kaj se zgodi, če znani funkciji spremenimo predznak?


Graf funkcije dobimo tako, da (znani) graf funkcije f(x) prezrcalimo skozi x os.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Grafi funkcij oblike g(x) = Af(x)



Naj bo dana že znana potenčna funkcija f(x). Graf funkcije dobimo tako, da graf funkcije f:

  • raztegnemo, če je A > 0

  • skrčimo, če je A < 0

za faktor A vzdolž osi y.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



urednik gradiva: Barbara Toman